In questa memoria, del 1873, Brill e Noether espongono la teoria analitica di Riemann delle curve algebriche introducendo il concetto geometrico di serie lineare su una curva algebrica.

Brill e Noether evidenziano il legame fra le serie lineari su una curva algebrica, le applicazioni razionali della curva in spazi proiettivi e le funzioni razionali con dati poli sulla curva stessa.