La geometria sopra una curva è il tema che guida le ricerche di Castelnuovo nel periodo torinese. A questa teoria fu condotto da Segre che vi si era accostato attraverso lo studio delle superfici rigate.

Nelle memorie “Geometria sulle curve ellittiche” e “Ricerche di geometria sulle curve algebriche”, pubblicate nel 1889, Castelnuovo risolve nuove questioni mediante tecniche di geometria proiettiva iperspaziale.